169 | 3^{3n + 3} - 26n -27
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Teorema:
Para $$n \in \mathbb{N}$$, tem-se $$169 \mid 3^{3n + 1} - 26n - 27$$.
Demonstração:
Para $$n = 1$$, tem-se $$ 3^6 - 26 - 27 = 729 - 53 = 676 = 4 \cdot 169$$, que verifica o caso base.
Fixado $$n \in \mathbb{N}$$, suponhamos:
$$169 \mid 3^{3n + 3} - 26n - 27 \text{ (Hipótese de Indução)}$$
Pretende-se provar que:
$$169 \mid 3^{3(n + 1) + 3} - 26(n + 1) - 27 \text{ (Tese de Indução)}$$
Passo de indução:
$$ \begin{align*} 3^{3(n + 1) + 3} - 26(n + 1) - 27 &= 3^{3n + 3} \cdot 27 - 26n - 26 - 27\newline &= 3^{3n + 3} - 26n - 27 + 26(3^{3n + 3} - 1) \end{align*} $$
Pela Hipótese de Indução, tem-se que:
$$\forall n \in \mathbb{N}, \exists k \in \mathbb{N}: 3^{3n + 3} - 26n - 27 = 169k$$
e pelo teorema doutro artigo {% cite 3p3n1mod13 %} tem-se que:
$$ \forall n \in \mathbb{N}, \exists k’ \in \mathbb{N}: 3^n = 13k’ + 1$$
, donde se conclui que:
$$ \begin{align*} 169k + 2 \cdot 13(13k’+1-1)&= 169(k + 2k’) \end{align*} $$
q.e.d.
Bibliografia
{% bibliography –cited %}
EDITED:
- 2023-06-02 23:52:30 +0000
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