2023-05-30

169 | 3^{3n + 3} - 26n -27

tags: [mathematics][discrete-mathematics]

Teorema:

Para $$n\in \mathbb{N}$$, tem-se $$169\mid 3^{3n+1}-26n-27$$.

Demonstração:

Para $$n=1$$, tem-se $$3^6-26-27=729-53=676=4\cdot 169$$, que verifica o caso base.

Fixado $$n\in \mathbb{N}$$, suponhamos:

$$169\mid 3^{3n+3}-26n-27\text{ (Hipótese de Indução)}$$

Pretende-se provar que:

$$169\mid 3^{3(n+1)+3}-26(n+1)-27\text{ (Tese de Indução)}$$

Passo de indução:

$$\begin{array}{rl}{3}^{3(n+1)+3}-26(n+1)-27& =3^{3n+3}\cdot 27-26n-26-27\\ & =3^{3n+3}-26n-27+26(3^{3n+3}-1)\end{array}$$

Pela Hipótese de Indução, tem-se que:

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\exists }k\in \mathbb{N}:3^{3n+3}-26n-27=169k$$

e pelo teorema doutro artigo {% cite 3p3n1mod13 %} tem-se que:

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\exists }{k}^{\prime }\in \mathbb{N}:3^n=13k^{\prime }+1$$

, donde se conclui que:

$$\begin{array}{rl}169k+2\cdot 13(13k^{\prime }+1-1)& =169(k+2k^{\prime })\end{array}$$

q.e.d.

Bibliografia

{% bibliography –cited %}

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• 2023-06-02 23:52:30 +0000

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