2023-06-02

n + 1 | n^2 + 1

tags: [mathematics][discrete-mathematics]

Teorema:

Seja $$n \in \mathbb{N}$$, $$A = {n \in \mathbb{N}: n + 1 \mid n^2 + 1} = {1}$$.

Demonstração:

Assumindo que $$n + 1 \mid n^2 + 1$$, então:

$$ \begin{cases} n + 1 \mid n^2 + 1 \newline n + 1 \mid n + 1 \end{cases} \implies n + 1 \mid n^2 + 1 - n(n + 1) \iff n + 1 \mid -n + 1 $$

Usando a propriedade da Limitação {% cite Martinez -L Lemma -l Lemma 1.1 alínea (ii) %}, dado que $$| -n + 1 | < | n + 1|$$, para $$n \in \mathbb{N}$$, então $$-n + 1 = 0 \iff n = 1$$, pelo que concluímos que $$A = { 1 }$$.

q.e.d.

Bibliografia

{% bibliography –cited %}